Signatur
Beschreibung
stats_cdf_cauchy() gehört zur stats-Erweiterung (PECL) und erlaubt es, einen der vier Parameter der Cauchy-Verteilung zu berechnen, sofern die anderen drei bekannt sind. Der Parameter, der berechnet werden soll, wird über $which gesteuert.
Die Cauchy-Verteilung (auch Lorentz-Verteilung genannt) ist eine symmetrische, glockenförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die keinen endlichen Erwartungswert und keine endliche Varianz besitzt. Sie wird häufig in der Physik (z. B. Spektralliniienprofile) sowie als Gegenbeispiel in der Statistik verwendet, wenn Aussagen über Normalverteilungen widerlegt werden sollen.
$which = 1: Berechnet die kumulative Wahrscheinlichkeit P (CDF) für den Wert$par1(Quantil), Lageparameter$par2und Skalenparameter$par3.$which = 2: Berechnet das Quantil (den Wert x), für das die CDF den Wert$par1liefert.$which = 3: Berechnet den Lageparameter (Median/Modus) der Verteilung.$which = 4: Berechnet den Skalenparameter (Halbwertsbreite) der Verteilung.
Die Funktion ist Teil der PECL-Erweiterung stats, die separat installiert werden muss (pecl install stats). Sie eignet sich für statistische Berechnungen, wissenschaftliche Anwendungen und Simulationen, bei denen die Cauchy-Verteilung eine Rolle spielt.
Parameter
| Name | Typ | Default | Beschreibung |
|---|---|---|---|
| $par1 Pflicht | float | Erster Parameter: Wenn $which = 1, ist dies das Quantil (der Wert x); wenn $which = 2, ist dies die kumulative Wahrscheinlichkeit P (zwischen 0 und 1); sonst der jeweilige bekannte Wert für die Berechnung. |
|
| $par2 Pflicht | float | Zweiter Parameter: In der Regel der Lageparameter (Median/Modus, x₀) der Cauchy-Verteilung, sofern nicht $which = 3. |
|
| $par3 Pflicht | float | Dritter Parameter: In der Regel der Skalenparameter (γ, Halbwertsbreite) der Cauchy-Verteilung; muss größer als 0 sein, sofern nicht $which = 4. |
|
| $which Pflicht | int | Gibt an, welcher Parameter berechnet werden soll: 1 = kumulative Wahrscheinlichkeit (CDF), 2 = Quantil (x), 3 = Lageparameter, 4 = Skalenparameter. |
Rückgabewert
$which ab: bei which = 1 eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1, bei which = 2 ein Quantil, bei which = 3 der Lageparameter oder bei which = 4 der Skalenparameter.Beispiele
Kumulative Wahrscheinlichkeit für einen Wert berechnen (which = 1)
<?php
// Berechnet P(X <= 2) bei Cauchy-Verteilung mit Lageparameter 0 und Skalenparameter 1
$p = stats_cdf_cauchy(2.0, 0.0, 1.0, 1);
echo "P(X <= 2) = " . $p . PHP_EOL;
// Erwartetes Ergebnis: ca. 0.8524
?>Quantil aus einer gegebenen Wahrscheinlichkeit berechnen (which = 2)
<?php
// Berechnet den Wert x, für den P(X <= x) = 0.75 gilt
// Cauchy-Verteilung mit Lageparameter 0 und Skalenparameter 1
$quantil = stats_cdf_cauchy(0.75, 0.0, 1.0, 2);
echo "Quantil fuer P=0.75: " . $quantil . PHP_EOL;
// Erwartetes Ergebnis: ca. 1.0 (tan(pi * (0.75 - 0.5)) = tan(pi/4) = 1)
?>Skalenparameter aus Quantil und Wahrscheinlichkeit berechnen (which = 4)
<?php
// Gesucht: Skalenparameter γ, sodass P(X <= 2) = 0.8524 bei Lageparameter 0
$gamma = stats_cdf_cauchy(2.0, 0.8524, 0.0, 4);
echo "Skalenparameter gamma: " . $gamma . PHP_EOL;
?>// Wichtig · Fallstricke
Voraussetzung: Die Funktion ist nur verfügbar, wenn die PECL-Erweiterung stats installiert ist. Sie ist nicht Bestandteil der PHP-Standardinstallation. Installation über pecl install stats.
Achtung bei den Parametern: Der Skalenparameter (γ, $par3 bei which != 4) muss strikt positiv sein (> 0). Ein Wert von 0 oder kleiner führt zu undefinierten Ergebnissen oder Fehlern. Die kumulative Wahrscheinlichkeit ($par1 bei which = 2) muss im offenen Intervall (0, 1) liegen.
Cauchy-Verteilung und Erwartungswert: Da die Cauchy-Verteilung keinen definierten Erwartungswert und keine endliche Varianz besitzt, sind viele statistische Standardannahmen (wie das Gesetz der großen Zahlen) nicht anwendbar. Dies sollte bei der Interpretation der Ergebnisse bedacht werden.